Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу
ua  rus  en
Міністерство освіти і науки України
ДНУ Вісник Дніпропетровського університету
Серія "Економіка"

Наукове видання
  • УДК 336:519
  • ISSN 9125 0912
  • Свідоцтво про державну реєстрацію друкованого засобу масової інформації КВ № 7898 від 17.09.2003 р.
  • Збірник включено до Переліку наукових фахових видань України (пункт 118), у яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт на здобуття наукових ступенів доктора і кандидата наук з економічних наук (Постанова президії ВАК України № 1-05/3 від 08.07.2009)
 

УДК 004.942:336.764.061

О. Г. Яковенко, к. М. Заворотченко

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

Моделювання портфеля опціонів з урахуванням цінових очікувань за базовими активами

Запропоновано модель процесу формування портфелю, що складається з опціонів. ураховано цінові очікування по базових активах, схильність інвестора до ризику та обмеженість у початковому капіталі. адекватність моделі перевірена на існуючих стратегіях.

Ключові слова: опціон, портфель, деривативи.

Предложена модель процесса формирования портфеля, состоящиего из опционов. учтены ценовые ожидания по подлежащим активам, склонность инвестора к риску и ограниченность в начальных инвестициях. адекватность модели проверена на существующих стратегиях.

Ключевые слова: опцион, портфель, деривативы.

The model of the options portfolio formation, suggested in the paper, takes into account the price expectations for the underlying assets, the investor’s attitude towards risk, and the initial capital limit. The adequacy of the model has been verified against existing strategies

Key words: option, portfolio, derivatives.

Актуальність. Ринок похідних фінансових інструментів – один із динаміч них сегментів світових фондових ринків. В Україні процес реєстрації похідних цінних паперів почався з 2000 року [6]. Одним із активів на ринку деривативів є опціон. Існує ряд переваг інвестування в опціони, а саме: теоретично необмеже ний дохід, що залежить від темпів зростання ціни базового інструмента, обмеже ні (розміром опціонної премії) втрати, можливість отримання великого прибутку від інвестованого капіталу за порівняно невеликого зростання ціни базового акти ву. Тому моделювання поведінки інвестора на фінансовому ринку з використан ням опціонів та їх комбінацій є актуальним.

Аналіз останніх наукових публікацій. Існують різні підходи до побудови оптимізаційних моделей з урахуванням фактора невизначеності фондового рин ку. О. Недосєкін [1] досліджує задачі нечіткого лінійного програмування, в осно ві яких лежать гнучкі граничні обмеження, нечіткі обмеження або нечітка цільова функція. Леоні [2] за допомогою методу Монте-Карло моделює поведінку порт фелю деривативів у довготривалому періоді, щоб визначити ефективність страте гій оптимізації, орієнтованих на зменшення ризику збитків. Р. Колб [4] моделює дельта-, гамма- та ро-нейтральні портфелі, тобто ті, які будуть менш чутливими до зміни конкретних фінансових параметрів. У [5] розроблено оптимізаційну мо дель керування біржовим портфелем похідних фінансових інструментів у режи мі реального часу і враховано відмінність у цінах покупки і продажу фінансових інструментів, а також комісію, яка стягується брокером при здійсненні операцій.

Мета дослідження. Метою розробки є визначення оптимальних пропорцій інвестування в опціони за умови, що відомі цінові очікування по базових активах, які відповідають цим опціонам. Оптимальним вважається такий склад портфеля, що очікуваний прибуток у момент його реалізації максимальний, при цьому вра ховується обмеженість початкового капіталу інвестора та його припустимий ри зик – сума яку інвестор готовий втратити в разі несприятливої ситуації. Для зна ходження оптимального складу портфелю будується модель, що дозволить звести дану задачу до задачі математичного програмування та знайти її розв’язок з ви користанням стандартних прикладних пакетів програм.

Основні результати досліджень. Інвестор визначає склад портфеля дерива тивів. Ціни базових активи в опціонах зазвичай величини незалежні: так ціни на акції двох підприємств різних галузей ніяк між собою не корелюють. Тому до цільно розглядати портфель опціонів на один і той же актив для спрощення роз рахунків. Нехай портфель складається з опціонів як пут, так і кол на один і той же базовий актив (наприклад, акції одного підприємства). Причому можна по цих опціонах зайняти як довгу, так і коротку позицію. Оскільки кількість покупців та продавців опціонів на ринку обмежена та визначена, то кількість опціонів, яку можливо купити або продати також обмежена. Для покупки опціонів у інвестора є початковий капітал. В опціонах указана різна ціна виконання (ціна страйк) – че рез це вони коштують по-різному. Критерієм оптимальності є максимізація очіку ваного прибутку – тобто прибутку від реалізації опціонів з урахуванням розподі лу цін за базовими активами та початковими витратами. Також інвестор визначає деяку суму, яку він готовий витратити в разі настання несприятливої ситуації. Ця сума визначає його схильність ризикувати.

Позначимо ціну страйк опціона – ?i,i = 1, n, початковий капітал – К. Позна чимо через уі – кількість у портфелі проданих опціонів-кол з Рі-ю ціною страйк ? = 1,n, а х– кількість у портфелі проданих опціонів-пут з Р-ю ціною страйк

?j = 1, n; yi j – кількість у портфелі куплених опціонів-кол з Ріj-ю ціною страйк

?? = 1,n, , а xj – кількість у портфелі куплених опціонів-пут з Рj-ю ціною страйк j = 1, n, де n – задана кількість рівнів цін на які виписуються опціони на ринку. Розглянемо період часу [0,t], де початкового моменту 0 формується портфель, а в кінцевий момент t надходить термін виконання опціонів у портфелі. Cхі – ціна про дажу опціона-пут з Р-ю ціною страйк у початковий момент часу. C– ціна прода

jуіжі опціона-кол з Рі-ю ціною страйк у початковий момент часу. Cxi – ціна покуп

?ки опціона-пут з Рi-ю ціною страйк у початковий момент часу. Cyi – ціна покуп ки опціона-кол з Р-ю ціною страйк у початковий момент часу. P– ціна на базо

і 0вий актив у кінцевий момент часу. Ціни на купівлю Cxi та продаж Cхі опціонів-пут

відрізняються через те, що за біржовими опціонами існує механізм на величину «штрафу». Те ж саме стосується і цін на купівлю Cyi та продаж Cуі опціонів-кол. У даному випадку «штрафом» є вартість складання контракту з купівлі-продажу опціонів на біржі.

Отже, грошовий потік у початковий період часу при формуванні портфелю складає: при купівлі опціонів-кол з Рі ціною страйк витрачається ? ny ? i ?Cyi . Купуючи опціони-пут – ?xi ?Cxi . Продаючи опціони-кол у початковий період часу ni=1 n буде отримано ?yi ?Cyi . Продаючи опціони-пут – ?xi ?Cxi , ? = 1, n. Враховуючи, що у початковий період наявна сума грошей рівна К і звичайно не можливо витратити більше цього, отримуємо нерівність

?yi ?Cyi +?xi ?Cxi ??yi ?Cyi ??xi ?Cxi ? K i=1 i=1 i=1 i=1

?(yi ?Cyi + x? ?Cxi ? yi ?Cyi ? x? ?Cxi ) ? K .

Позначивши через Zi = yi ?Cyi + x? ?Cxi ? yi ?Cyi ? x? ?Cxi , отримуємо

n ?Zi ? K . (1) i=1

Тепер розглянемо грошовий потік кінцевого моменту часу.

У розпорядженні є опціони двох типів за двома позиціями кожен (довга по зиція на кол і пут та коротка позиція на кол і пут). Для опціонів з ціною-страйк Рімаємо такі нерівності:

1. Якщо Рі > Р0, тобто реальна ціна базового активу виявилася менша ніж вка зана в опціоні. Тоді має сенс реалізовувати право на продаж за ціною вказаній в опціоні пут та залишити нереалізованими опціони на покупку. Це є логічним, тому вважається, що всі контрагенти притримуються такої тактики.

Виконуючи наявні в портфелі опціони-пут отримаємо наступні розрахунки:

реалізовуючи куплені опціони-пут придбано xi акцій по ціні Р0 і продано їх за ці ною Рі. Виконуючи продані опціони-пут за вимогою покупця куплено xi акцій по ціні Рі у тримача опціону та продано їх за ціною Р0. Опціони-кол залишаться не реалізованими та принесуть нульовий результат. Кінцевий фінансовий результат:

? ? x ? ? ? x ? ? ? o + ? ? o = (? ? ? ) x ? (? ? ? ) o . (2)

?i 0 i ?? 0 ?? 0 i? 0 ?

2. Якщо Рі < Р0, тобто реальна ціна базового активу виявилася вища ніж вка зана в опціоні. Тоді є сенс реалізовувати право на покупку активів за нижчою ці ною, вказаній в опціоні та залишити нереалізованими опціони на продажу. Також покладено, що всі контрагенти притримуються такої тактики.

Виконуючи опціони-кол з яких складається портфель: реалізовуючи куплені

опціони-кол купується yi акцій по ціні вказаній в опціоні Рі та продано їх за ви щою ціною Р0. Виконуючи продані кол-опціони за вимогою покупця купується yi акцій за ціною Р0 та продано за ціною вказаною у опціоні Рі. Опціони-пут за лишаться нереалізовані

?? ? y + ? ? y + ? ? y ? ? ? y = (? ? ? ) y ? (? ? ? ) y . (3)

?i 0 i ?? 0 ?? 0 ?? 0 i

Об’єднавши випадки (2,3) маємо, що прибуток (збиток) від деякої комбінації опціонів з однаковою ціною Рі виконання дорівнює:

? ? ? ?x ? ? ? ? ?o , yeui _ ? ? ? ? 0

?( ? 0 ) i ( ? 0 ) ?? 0

I = ?? ?(?? ? ?0 ) y? ? (?? ? ?0 ) y ? i, yeui _ ?? ? ?0 < 0

?

цю функцію можна переписати у вигляді:

??

Ii = max (P ? P0;0 ) xi ? max (Pi ? P0;0 ) xi + min (Pi ? P0;0 ) yi ? min (Pi ? P0;0 ) yi .

i

Функція прибутку залежить від невідомих I (o , o??, o , o? ), ? = 1, n та при зада

?? ??

них фіксованих значеннях Р0 та Рі є лінійною.

Якби ціни на акції були точно відомі заздалегідь, то потреби в хеджуванні ризику не виникало. Насправді ж величина Р0 невідома, а відомі ймовірності від повідно цін базового активу Р0j, j =1, m. Ймовірностний розподіл ціни акції може бути записан таблично (табл. 1).

Таблиця 1 Розподіл цін на базові активи

Ціна, Р0j 30 33 36 38
Ймовірність, Prj 0,1 0,4 0,4 0,1

де, Р0j – одна з очікуваних цін на базовий актив в майбутньому j = 1, m, Prj – ймо вірності, що ціна на базовий актив в майбутньому набуде значення Р: m .

0j?P0 j = 1 j =1

Таким чином шуканим є не сам прибуток, а величина його математичного сподівання

m II ? =?Pr j ? I?j , ? = 1, n.

j =1

Слід зазначити, що МПі це очікуваний прибуток, при формуванні портфелю з опціонів з однаковою (фіксованою) ціною страйк Рі. Вже згадувалось при опису моделі, що на ринку присутні опціони з декількома рівнями цін-страйк і для фор мування портфелю можуть бути використані вони всі. Отже, загальний прибуток від виконання опціонів складе

n nm ?II ? =?? Pr j ? I?j , i=1 i=1 j =1

враховуючи початкові витрати:

nnm n ?II ? =?? Pr j ? I?j ??Zi . (4) i=1 i=1 j =1 i=1

Так як отримана функція має лінійно-стохастичний вигляд, то при знахо дженні оптимального розв’язку може виникнути випадок, коли вигідно купува ти значну кількість опціонів одного виду, або продати «нескінченну» кількість опціонів іншого. Але в реальних умовах це неможливо, бо сама природа опці ону визначає, що є обмежена кількість продавців, які продають обмежену кіль кість опціонів у певний час. Те саме стосується і покупців. Тож до моделі доціль но ввести додаткові обмеження, які б описували ці припущення.

Нехай насиченість ринку опціонами така, що не можливо продати більше ніж аі опціонів-кол з Рі-ю ціною страйк та bi опціонів-пут, купити більше ніж ciопціонів-кол та di опціонів-пут ? =1, n. Величини аі, bi, ci та di відомі

y ? a ,i = 1, n, x ? bi , = 1, n, y ? ? c ,i = 1, n, x ? ? d ,i = 1, n. (5)

ii iiiiii

Також цілком логічно припустити, що інвестор, незважаючи на малу ймовір ність несприятливої ринкової ситуації, не захоче у випадку її настання нести знач ні збитки. Величина збитків більше якої інвестор ризикувати не хоче характери зує його обережність або консервативність та є в моделі константою. Для прикла ду знову звернемося до табл. 1 – навіть при такому розподілу ймовірностей на очі кувані ціни базового активу припускається, що інвестор не захоче продавати за багато опціони-кол зі страйк-ціною 33 оскільки у випадку настання ціни 38 (хоча ця ймовірність і є невеликою) він змушений буде сплачувати по 38–33=5 у. о. з кожного проданого опціону. Тобто для кожної ймовірної ціни Р0j j = 1, m. кінце вий результат не повинен бути менше заданої величини L:

n ?(Iij ? Zi ) ? , = 1,

Lj m. (6) i=1

Враховуючи вираз (1) та вирази (4),(5),(6) отримуємо математичну модель оптимізації портфелю опціонів

nm n ?? Pr ? I ??Z > max

j?j i i=1 j =1 i=1

при системі обмежень (7).

Таким чином, отримано математичну лінійно-стохастичну модель комбіна торної оптимізації. Її розв’язок можливий за допомогою програмного забезпечен ня Excel та функції Пошук розв’язків.

? ni

? ? Z ? K ?

i=1

?

n

? ??(I?j ? Zi ) ? , = 1,m

Lj

?

i=1

? ?y ? a ,i = 1,n

ii

?x ? bi, = 1, n (7)

ii

? ?

y ? c ,i = 1, n

? ii ? ?

x ? d ,i = 1,n

? ii ?

??

y , x , y , x ? 0...i = 1,n

iiii

? ? ? ? ?

?

де П та Z функції виду:

іji

??

Iij = max (Pi ? P0 j ;0) xi ? max (Pi ? P0 j ;0) xi + min (Pi ? P0 j ;0) yi ? min (Pi ? P0 j ;0) yi

??

??

Z = y ?C + x ?C ? y ?C ? x ?C

i i yi?xi i yi ixi

Для прикладу порівняємо результати однієї з поширених опціонних страте гій – спред «бика» та побудованої моделі. Спред «бика» [3] – це стратегія, що складається з покупки опціону-колл з ціною виконаня К1 і продажу опціону-кол з ціною виконання К2 > К1 (рис. 1). Графік прибутку, отриманого завдяки двум опціонним позиціям окремо зображений пунктиром. Прибуток від усієї стратегії є їх сумою та зображений суцільною лінією, а S– ціна акції в момент виконання обох опціонів. t

Рис. 1. Стратегія «бика»

До цього спреду інвестори звертаються, коли розраховують на підвищення курсу базового активу, обмежуючи величину своїх втрат. Але ця комбінація об межує і величину виграшу.

Нехай очікуваний розподіл ймовірностей на ціни базового активу має вигляд:

Таблиця 2 Очікувані ціни на акції

Ціна, Р0j 18 20 22 24 26
Ймовірність, Prj 0,1 0,1 0,2 0,35 0,25

Та вихідні дані наступні:

??

Р1 = 20 = 0,43 b1 = 10

Cх1 Cу1

d1 = 50

= 1,4 а1 = 40

x1

= 0,45

= 1,45

C C

?

Р2 = 22,5 = 0,55 b2 = 40

Cх2 Cу2

d2 = 10

= 1,1 а2 = 10

C = 0,6

x2

?= 1,1C

y1 y2

L = -60 K = 20 c1 = 40 c2 = 40

При розв’язанні шукана комбінація опціонів та очікуваний чистий дохід від портфелю складе:

??

у1 = 0 х1 = 10

Ц. ф.=44,55

25

0

= =

y1 x1

??

у = 10 х = 4

0

0

= =

y2 x2

2

2

Якщо діяти за стратегією спред «бика», то в рамках доступного бюджету (К = 20) буде отримано наступні результати:

?

y1

= 21 у2 =10 Ц. ф.=35,85

Видно, що очікуваний фінансовий результат від побудованої моделі більший ніж від стратегії.

Наведений графік в якому кожній ціні Р0j відповідає отриманий прибуток без урахування ймовірностей (рис. 2). Пунктирною лінією зображено прибуток при стратегії спред «бика», суцільною – від побудованої моделі.

Рис. 2. Порівняння моделі та стратегії «бика» без урахування ймовірностей

З графіку видно, що без урахування ймовірностей дана модель передбачає більший прибуток у разі росту ціни, але й більші збитки (але не більші за задану величину – L).

Порівняємо з результатами при урахуванні ймовірностей (рис. 3). Очікува ний прибуток від моделі більший за очікуваний від стратегії. При цьому очікува ні збитки в разі несприятливої ситуації різняться незначно.

Рис. 3. Порівняння моделі та стратегії «бика» з урахуванням ймовірностей

Висновки та перспективи подальших досліджень. Таким чином, побудо вана математична модель оптимізації портфеля, що складається з опціонів, яка враховує обмеженість коштів на інвестиції та «обережність» інвестора. Модель дозволяє знайти оптимальні пропорції інвестування в опціони, якщо відомий роз поділ цін на базовий актив. Порівнюючи побудовану модель з існуючими стра тегіями (зокрема зі стратегією «бика») можно зробити висновок, що дана модель дозволяє знайти такий склад портфелю при якому очікуваний прибуток більший, ніж знайдений за допомогою стратегії, а очікувані витрати різняться незначно, адже в моделі вони обмежені величиною схильності інвестора до ризику – тобто сумою, яку він згоден пожертвувати в разі несприятливої ситуації. При проведен ні подальших досліджень можна розширити портфель, включаючи до нього опці они з різними базовими активами. Це дозволить, не маючи змоги спрогнозувати ціни на акції підприємств, але знаючи залежність між ними, скласти портфель, в якому втрати через падіння ціни на акції одного підприємства будуть компенсу ватися через зростання цін на акції іншого.

Бібліографічні посилання

  1. Недосекин а. О. Оптимизация фондового портфеля, содержащего put-опционы / А. О. Недосекин // Банки и Риски. – 2005. – № 1.
  2. Patrick L. Leoni. Stop-loss strategies and derivatives portfolios / Patrick L. Leoni // International Journal of Business Forecasting and Marketing Intelligence. – 2008. – № 1. – С. 82–93.
  3. Джон к. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инстументы / Джон К. Халл. – «Вильямс», 2008. – 1044 с.
  4. Колб Р. у. Финансовые деривативы: пер. с англ. / Р. У. Колб. – М., 1997. – 359 с.
  5. яковенко О. Г. Математичні моделі процесів активності в економічній динаміці: монографія / О. Г. Яковенко. – Д., 2010. – 196 с.
  6. Звіт державної комісії з цінних паперів та фондового ринку за 2002 рік [Електро нний ресурс] – Режим доступу до звіту : http://www.ssmsc.gov.ua/UserFiles/File/2002part2. zip

Надійшла до редколегії 29.03.11














Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу

© Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, 2011-2015

Рейтинг@Mail.ru