Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу
ua  rus  en
Міністерство освіти і науки України
ДНУ Вісник Дніпропетровського університету
Серія "Економіка"

Наукове видання
  • УДК 336:519
  • ISSN 9125 0912
  • Свідоцтво про державну реєстрацію друкованого засобу масової інформації КВ № 7898 від 17.09.2003 р.
  • Збірник включено до Переліку наукових фахових видань України (пункт 118), у яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт на здобуття наукових ступенів доктора і кандидата наук з економічних наук (Постанова президії ВАК України № 1-05/3 від 08.07.2009)
 

УДК 330.4

Є. О. Сілантьєв, О. Г. яковенко

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

Показник VaR: переваги, недоліки та альтернативи

Проаналізовано показник VaR та наведено короткі історичні відомості про нього. зауважено основні його недоліки. запропонований показник CVaR, який має ті ж самі переваги, що й VaR, але позбавлений більшості його недоліків. CVaR є послідовною (когерентною) та опуклою мірою ризику.

Ключові слова: VaR, Value-at-Risk, CVaR, Conditional Value-at-Risk, Expected Shortfall, очікуваний дефіцит, очікувана нестача, умовний VaR, послідовні (когерентні) міри ризи ку, опуклі міри ризику.

Проанализирован показатель VaR и преведены краткие исторические сведения о нем. Отмечены основные его недостатки. Предложенный показатель Cvar, имеет те же самые преимущества, что и Var, но лишен большинства его недостатков. Cvar является последовательной (когерентной) и выпуклой мерой риска.

Ключевые слова: Var, Value-at-Risk, Cvar, Conditional Value-at-Risk, Expected Shortfall, ожидаемый дефицит, ожидаемый недостаток, условный Var, последовательные (когерентные) меры риска, выпуклые меры риска.

The VaR Indicator has been analysed and its historical summary has been given. The main disadvantages of its indicator have been remarked. The given Cvar indicator has the same Advantages comparing to VaR, but it excludes its major disadvantages. Cvar is a consequent (coherent) and convex measure of risk.

Key words: Var, Value-at-Risk, Cvar, Conditional Value-at-Risk, Expected Shortfall, expected deficit, expected shortage, conditional Var, consequent (coherent) measures of risk, convex measures of risk.

актуальність проблеми. Проблема вимірювання ризику є однією з найста ріших та найскладніших у сферах статистики, економіки, фінансів та банківської справи. Керування фінансовими ризиками є також предметом особливої уваги ре гулюючих державних органів і керівників підприємств.

Поява багатьох мір ризику стало природною спробою оцінити одним числом можливі збитки. Вони також дають можливість оцінити розмір капіталу, який не обхідно резервувати для покриття цих збитків.

Одним з найбільш розповсюджених мір фінансового ризику зараз є показ ник Value-at-Risk (VaR). Однак з моменту свого оприлюднення він зазнав великої кількості критики. Зокрема VaR критикують за наступними пунктами:

  • Дає помилкову впевненість у безпеці;
  • Зосереджений на керованому ризику поблизу центру розподілу і ігнорує хвости;
  • Є потенційно катастрофічним, коли його використання створює помилкове відчуття безпеки серед керівників і контролерів. У свою чергу, зростає зацікавленість у мірах ризику, що належать до класів послідовних (когерентних) та опуклих функцій вимірювання ризику.

аналіз останніх наукових публікацій. Показник VaR став настільки ши роковживаним, що його обговорення вийшло за рамки наукових кіл. Так у стат ті «Risk Mismanagement» (Погане управління ризиками) [1] розглянута роль, що VaR відіграв у фінансовій кризі 2007–2008 рр. та зроблено висновкі, що VaR був дуже корисним для ризик-експертів, але тим не менше, посилив кризу бо створив ілюзію безпеки та захищеності для банківських службовців і регулюючих орга нів. Потужний інструмент для професійних ризик-менеджерів, VaR легко невірно зрозуміти, і якщо це сталося є дуже небезпечним.

Деякі автори [2] зауважують, що термін VaR використовувався ще у 50-ті роки в рамках теорії Марковіца. Але VaR не являв собою окремої концепції до кінця 1980-х.

Актуальним для даного питання також є роботи Арсера та ін. [3; 4], що зараз широко цитуються у літературі, стосовно послідовних (когерентних) мір ризи ку. Питання про клас опуклих мір ризику розглянуте у роботі Фьолмера та ін. [5], Ацербі та ін. [6; 7], Рокфеллер та Урсаев [8] активно вивчають замінник VaR – по казник CVaR.

На базі цього показника вже розроблено стохастичні моделі для керування портфелем цінних паперів, наприклад [9].

Мета дослідження – провести аналіз методів оцінювання ринкових ризиків – ризиків зміни вартості активів у результаті зміни ринкових факторів. Зауважимо, що класичний варіант ризику відхилення у вигляді дисперсії є природним для ви мірювання ризику в теорії помилок, але непридатний для оцінювання фінансово го ризику втрат [10].

Основні результати дослідження. Головною подією, яка фактично ініці ювала розвиток VaR, став обвал на фондових біржах у жовтні 1987 року. Обвал був настільки малоймовірним, з огляду на стандартні статистичні моделі, що по ставив під сумнів основи кількісного аналізу в фінансовій сфері. Переоцінка істо ричних даних змусила деяких аналітиків висунути припущення про кризу, що по вторюється один або два рази на десятиріччя, яка перевищує статистичні припу щення, вбудовані в моделях, що використовуються в торгівлі, управлінні інвести ціями та ціноутворенні похідних цінних паперів. VaR був розроблений, як систе матичний підхід, для відокремлення екстремальних подій.

Дуже важливу роль в історії VaR відіграла компанія JP Morgan, яка опублі кувала методологію і надала безкоштовний доступ до необхідних оцінок базових параметрів у 1994 році. Це перший раз, коли VaR був представлений за рамками порівняно невеликої групи аналітиків. Два роки по тому, методологія виділена в самостійний некомерційний бізнес (зараз частина RiskMetrics Group).

Наступним кроком у становленні VaR був 1997 рік, коли Комісія по цінним паперам та біржам США ухвалила рішення, згідно якого державні корпорації по винні надавати кількісну інформацію про їх діяльність із похідними цінними па перами. Найбільші банки і дилери вирішили це питання додавши показник VaR до фінансової звітності.

Останнім імпульсом до широкого використання VaR стала угода Базель II, що була підписана у 1999 році.

Для заданого портфеля, ймовірності (рівня довіри) та часового інтервалу VaR визначається як граничне значення, при якому ймовірність того, що збитки по портфелю даного часового горизонту перевищать цю величину (за умови нор мальних ринків і сталості портфелю), рівна заданому рівню довіри.

Що ж приваблює у VaR аналітиків та управлінців?

  1. Універсальність. VaR можна виміряти портфель будь якого типу.
  2. Глобальність. VaR підсумовує всі ризики портфелю в єдину цифру.
  3. Ймовірнісний. VaR показує збитки та ймовірність їх появи.
  4. Грошовий спосіб вираження. VaR виражений у найкращих можливих оди ницях вимірювання – грошах.

У той же час, треба зауважити, що визначення VaR неконструктивне, воно визначає які властивості VaR повинно мати, але не як його обчислити. Крім того, є широкий простір для тлумачення визначення.

З математичної точки зору показник VaR можна описати наступним чином. Нехай X випадкова величина, що показує можливу величину прибутків або збит ків конкретного портфелю цінних паперів за час T починаючи з сьогоднішнього дня, ? = A %

(0,1) заданий рівень довіри. Тоді матимемо наступне

( )(x ? X ) = sup{ x P [X ? x] ?? }; (1)

() ? () ?

VaR (X ) =? x (X ). (2)

На яке питання відповідає ця рівність? Якщо X – можлива величина збитків, то фактично вона показує мінімальні збитки яких може зазнати портфель цінних паперів у A % найгірших випадках. Як би це не було дивно, але це питання най більш часто виникає у ризик-менеджерів сьогодні. Покажемо це графічно (рис. 1).

Це означення VaR необхідно розуміти для коректного використання показ ника. Важливо розуміти, що VaR розроблено як показник, який виключає із за гального ризику ризик екстремальних подій. Тобто, він просто не звертає увагу на збитки, що можуть виникнути при надзвичайній ситуації. Для нормального роз поділу це припущення має сенс, однак для загально випадку воно неприпустиме. Тим паче нормальний розподіл для ринку цінних паперів характерний лише для достатньо малих інтервалів часу. Із збільшенням інтервалу для розподілу стають притаманні так званні жирні хвости (fat tails) чи чорні лебеді (black swans).

Також варте уваги припущення, що для портфелів, що мають велику кількість різних цінних паперів і є добре диверсифікованими, розподіл ймовірності прибут ків та збитків портфелю буде мати розподіл близький до нормального, а отже ви користання VaR буде цілком правомірне. Однак, у роботі Ацербі [4] показано, що навіть для портфелів великих розмірів VaR не є доброю мірою ризику, адже функ ція VaR не є опуклою, а отже має багато локальних екстремумів (рис. 2).

Рис. 1. Графічне зображення VaR

Рис. 2. Графічне зображення значень VaR, CVaR (ES) та TCE

Розглянемо показник VaR для put та call опціонів, як запропоновано в [4] (рис. 3). Видно, що при рівних значення VaR для покупця та продавця опціону продавець завжди буде брати не себе більший ризик! Досить дивно зважаючи на те, що значення міри ризику для обох учасників однакове.

Інший парадокс пов’язаний з показником VaR – це можливі ситуації для яких цей показник є від’ємним. Наприклад, для облігації з ймовірністю несплати в 2 % значення VaR для рівня довіри 95 % буде від’ємним, так як найкращім з 5 % най гірших випадків буде прибуток, а не збитки.

Крім того VaR не є послідовною (когерентною) мірою ризику в термінах ро боти Арсера [5], що зараз широко цитується літературою.

Рис. 3. Опціони та VaR

Згідно з визначенням Арсера, міра ризику може називатися послідовною (ко герентною) тільки в тому випадку якщо виконуються наступні чотири умови:

1. Субадитивність

?ZZ 2 ? L ? (Z1 + Z2 ) ?? (Z ) +? (Z2 ) . (3)

1, 1

Міра ризику субадитивна, якщо ризик суми часток портфелю менший чи рів ний сумі їх індивідуальних ризиків.

2. Трансляційна інваріантність

?a ? R,?Z ? L ? (Z + a) =? (Z ) + a. (4)

Додання готівки до портфеля зменшує його ризикованості рівно на ту ж суму.

3. Позитивна однорідність

0, Z ?? (

??> ?? L ( Z ) = ?? Z ). (5)

Якщо в два рази збільшити розмір кожної позиції у портфелі, ризик портфе лю збільшиться вдвічі.

4. Монотонність

?ZZ ? L : Z ? Z ? (Z ) ?? (Z ). (6)

1, 2 121 2

Якщо втрати портфеля А більші за втрати портфеля В для всіх можливих сце наріїв розвитку, то ризик портфелю А більший ніж ризик портфелю В.

У багатьох випадках, однак, функція залежності ризику від розміру позиції є нелінійною. Наприклад, додатковий ризик ліквідності може виникнути, якщо по зиція збільшується в багато разів. Тому в [5] запропоновано послабити умови по зитивної однорідності і субадитивності введенням замість (3) і (5) умови опуклос ті (7).

? 2 (( ( ?? ? Z2. (7)

?? ? [0,1 , ] ZZ 1, ? L ?? Z1 + 1 ?? ) Z ) = ?? (Z1) + 1 )( )

2

Опуклість означає, що диверсифікація не збільшує ризик, тобто ризик ди версифікованої позиції менший або дорівнює середньозваженої окремих ризиків.

VaR не виконує умову субадитивності, умови, що лежить в основі диверси фікації. VaR також не є опуклою мірою ризику, бо не виконує умову опуклості.

Але жоден аналітик не відмовиться від переваг, що надає VaR. Тому необ хідно знайти таку міру ризику, яка б мала всі переваги VaR та нівелювала всі її недоліки. На щастя, така міра ризику існує. У [6] автори використовують термін Expected Shortfall (ES – «очікуваний дефіцит чи «очікувана нестача»), а в [7] вико ристовується термін Conditional Value-at-Risk (CVaR – «умовний VaR»).

Концепцію CVaR було представлено досить давно під назвою умовне очіку вання в хвості (Tail Conditional Expectation або TCE), яку вона отримала за свою здатності аналізувати наскільки серйозні втрати різних зразків найгірших випад ків. VaR у свою чергу лише підкреслює порогове значення зразка, не зважаючи на те, що знаходиться за цим порогом. Однак виявилося, що величина TCE також порушує умову субадитивності. Це показано на рис. 4.

Рис. 4. Ілюстрація методу TCE, за допомогою функції розподілу ймовірності збитків

Формула для розрахунку значення TCE має вигляд:

TCE ? =? M {X | X ? sup {x | [ ? x] ?? }}. (8)PX

На рис. 4 більш темним показано 5 % найгірших випадків. У свою чергу, при розрахунку показника TCE будуть використані повністю два перших рядки, а отже і додаткові значення, що лежать за 5 % найгірших випадків.

У 2001 році було представлено нове визначення CVaR (ES).

? ( ) (

?? 0 де F () = inf {x | Fx ? p (9)

< p () } FX = PX ? x()[ ]

Ця міра ризику є послідовною (когерентною), що було доведено К. Ацербі та іншими у [8]. Дана міра ризику відповідає на значно більш змістовне питання, а саме: «Скільки становлять очікувані збитки фірми за один день у 5 % найгірших випадках».

Наведемо приклад, що відражає наведені вище відомості. Нехай існує деяка облігація А із ймовірністю несплати відсотків 2 %, та ймовірністю повної неспла ти 3 %. Припустимо, що існує облігація В, яка має такі самі характеристики як і А, але випущена іншим підприємством. Також будемо вважати, що несплати по дії взаємовиключні. Тоді матимемо наступне (табл. 1–4).

У таблиці 1 наведені ціни облігацій та ціна портфелю, складеного з двох облі гацій. Таблиця 2 містить дані про виплати по портфелю та окремим акціям в усіх можливих випадках. У таблиці 3 наведені значення показників CVaR та VaR для рівня довіри 5 % та для портфеля, що містить одну облігації А чи В або обидві облігації. Дані для портфелів фіксованого розміру (1000 грошових одиниць) міс тяться в таблиці 4.

Таблиця 1 Дані по типам облігацій

Ціна облігації А В А+В
104,6 104,6 209,2

Таблиця 2 Можливі виплати за портфелем

Ймов-ть А В А+В
Повна несплата В 3 % 108 0 108
Несплата відсотку В 2 % 108 100 208
Повна несплата А 3 % 0 108 108
Несплата відсотку А 2 % 100 108 208
Несплата відсутня 90 % 108 108 216

Таблиця 3 Перевірка субадитивності

Міра ризику Облігація типу А Облігація типу В Облігація типу А+В Субадитивність
VaR 4,6 4,6 101,2 Порушено
CVaR 64,6 64,6 101,2 Виконується

Таблиця 4 Перевірка опуклості

Міра ризику Облігація типу А Облігація типу В Облігація типу А+В Опуклість
VaR 43,98 43,98 483,75 Порушено
CVaR 617,59 617,59 483,75 Виконується

Висновки та перспективи подальших досліджень. Проведено аналіз мето дів оцінюванню ринкових ризиків, на прикладі показника VaR та CVaR. Були на ведені короткі історичні відомості про них. Запропонований показник CVaR, аль тернатива до VaR, належить до класів послідовних (когерентних) та опуклих мір ризику. Наведено приклад, що підтверджує відомості подані в статті.

Бібліографічні посилання

  1. Nocera J. Risk Mismanagement / J. Nocera // The New York Times Magazine. – 04.01.2009.
  2. кишакевич б. Ю. Практичні аспекти застосування методології VaR для оцінки кредитного ризику в моделі CreditMetrics / Б. Ю. Кишакевич // Науковий вісник НЛТУ України. – 2009. – Вип. 19.4. – С. 289–295.
  3. Artzner P. Coherent measures of risk / P. Artzner, F. Delbaen, J. M. Eber, D. Heath // Math. Finance. – 1999. – № 9(3). – С. 203–228.
  4. Artzner P. Thinking coherently / P. Artzner, F. Delbaen, J. M. Eber, D. Heath // Risk. – 1997. – № 10. – С. 68–71.
  5. Follmer H. Convex measures of risk and trading constraints / H. Follmer, A. Schied // Finance and Stochastics. – 2002. – № 6(4). – С. 429–447.
  6. Acerbi C. Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk / C. Acerbi,
  7. D. Tasche – Abaxbank Milano, Zentrum Mathematik (SCA), TU Muenchen, 2001. – (Working paper / Abaxbank Milano, Zentrum Mathematik (SCA), TU Muenchen).
  8. Acerbi C. Spectral measures of risk / C. Acerbi. – Abaxbank, 2005. – (Working paper / Abaxbank, Roma 09.06.2005).
  9. Rockafellar R. T. Conditional value-at-risk for general loss distributions / R. T. Rockafellar, S. Uryasev // Journal of Banking & Finance. – 2002. – № 26. – С. 1443–1471.
  10. Topaloglou N. A dynamic stochastic programming model for international portfolio management / N. Topaloglou, H. Vladimirou, S. A. Zenios // European Journal of Operational Research. – 2008. – № 185. – С. 1501–1524.
  11. Кирилюк В. С. Полиэдральные меры риска и робастные решения / В. С. Кири люк, А. С. Бабнин // Теорія оптимальних рішень. – 2008. – № 7. – С. 66–72.

Надійшла до редколегії 29.03.11














Головна  |  Вимоги до оформлення статей  |  Контакти |  Зміст журналу

© Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, 2011-2015

Рейтинг@Mail.ru